TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos:

Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis.

CONJUNTOS:

La palabra conjunto es una colección de objetos cuyas propiedades o características están claramente definidas. Cada objeto que forma parte de un conjunto se llama elemento.

Es una colección de objetos considerados como una simple unidad. Los objetos que determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos pueden denotarse con letras mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con letras minúsculas como a, b, c,… o con números separados por comas y encerrados entre dos llaves. Así por ejemplo: el conjunto “A” formando por las vocales, la podemos escribir: A: {a, e, i, o, u} y un conjunto “B” cuyos elementos son los tres números impares lo denotamos B = {1, 3,5}.

Ejemplos de conjuntos:

Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.

Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.

Notación: AÌB Û "x ÎAÞ xÎB

Ejemplo: El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.

Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.

Notación: U

Ejemplo:

A = {1,3,5} B = {2,4,6,8}

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2ⁿelementos.

Notación:

Ejemplo:

A = {3,4,5}

P(A)= 2³= 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A.

P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}, f }.

Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Notación: f = { x / x ¹ x }

Ejemplo:

B= {x/x² = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.

Ejemplo:

Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar.

Ejemplo:

M= {a,e,i,o,u}, M es finito.

N={1,3,5,7...}, N es infinito.

Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.

Gráficamente:

Ejemplo:

A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.

Notación: AÈB= {x/xÎAÚ xÎB}

Gráficamente:

.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B.

Notación: A Ç B= {x / x Î A Ù x Î B}

Gráficamente:

Ejemplo:

A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14}

Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A

y que están en el universo.

Notación: A^c= {x / x ÎU Ù x ÏA}

A^c= U - A

Gráficamente:

Ejemplo:

U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}

A^c= {1,2,5,8,9,10}

Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notación: A - B ={x / x ÎA Ù x Ï B}

Gráficamente:

Ejemplo:

C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}

C - D = {x, y, u}

LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO

1.- Asociatividad:

(AÈB)ÈC = AÈ(BÈC)

(AÇB)ÇC = AÇ(BÇC)

2.- Conmutatividad:

AÈB = BÈA

AÇB = BÇA

3.- Distributividad:

AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC)

AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)

4.- Absorción:

AÈ(AÇB) = A

AÇ(AÈB) = A

5.- Idempotencia:

AÈA = A

BÇB = B

EJERCICIOS RESUELTOS

Demuestre:

1.-(A - B) Ç B = f

(A Ç B^c) Ç B = f

AÇ(B^cÇ B) = f

A Ç f = f

f = f

2.- (A – B) Ç (A - C) = A – (B È C)

(A Ç B^c) Ç (A Ç C^c) = A – (B È C)

A Ç (B^c Ç A ) Ç C^c = A – (B È C)

(A Ç A) Ç(B^c Ç C^c) = A – (B È C)

A Ç (B È C)^c = A – (B È C)

A – (B È C) = A – (B È C)

3.- n[A È ( B È C ) ] = n(A) + n(B) + n(C) - n(A Ç B) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]

n[A È ( B ÈC )] = n(A) + n(BÈC) - n[AÇ(BÈC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(BÇC) - n[(AÇB)È(AÇC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(B Ç C) - n(A Ç B) - n(A Ç C) + [ n(A Ç B) Ç (AÇC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ÇB) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]

4.- (A È A) Ç (A È B^c) = A

A Ç (A È B^c) = A

A = A

5.- (B Ç C) È A = (B È A) Ç (C È A)

A È (B Ç C) = (B È A) Ç (C È A)

( A È B) Ç (A È C) = (B È A) Ç (C È A)

(BÈA)Ç(CÈA) = (BÈA)Ç(CÈA)

Simplificar:

6.- A È [ (B Ç (A È B) ) Ç (A È (A Ç B) ) ]

A È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç(A È A) Ç (AÈB)

A È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç A Ç (A È B)

A È [B Ç A] È B= B

(A È B) Ç (A È A)

(A È B) Ç (A)

IGUALDAD DE CONJUNTOS

7.-¿Cuáles de estos conjuntos son iguales:{r,t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}?

Solución:

Son todos iguales entre sí. Obsérvese que el orden o la repetición no cambian un conjunto.

8.-¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?

(1) {x | x es una letra en la palabra «tocata»}.

(2) Las letras de la palabra «tacto».

(3) {x | x es una letra de la palabra «cota»}.

(4) Las letras a, c, o, t.

Solución:

Escribiendo los conjuntos en forma tabular es fácil averiguar si son o no iguales. Una vez escritos los cuatro conjuntos en forma tabular se ve que todos son iguales al conjunto {a, c, o, t}.

CONJUNTO VACÍO

9.-¿Cual de estas palabras es distinta de las otras y por qué?: (1) vacío, (2) cero, (3) nulo.

Solución:

La primera y la tercera se refieren al conjunto sin elementos; la palabra cero se refiere a un número particular y es, por tanto, la palabra diferente.

10.-Entre los conjuntos que siguen, ¿cuáles son diferentes?:Æ, {0}, {Æ}.

Solución:

Cada uno es diferente de los otros. El conjunto {0} contiene un elemento, el número cero. El conjunto Æ no tiene elementos, es el conjunto vacío. El conjunto {Æ} tiene también un elemento que es el conjunto vacío: es un conjunto de conjuntos.

11.-¿Cuáles de estos conjuntos son vacíos?

(1) A = {x|x es una letra anterior a a en el alfabeto}. (3) C = {x|x ¹ x}

(2) B = {x|x² = 9 y 2x = 4}. (4) D = (x|x + 8 = 8}.

Solución:

(1) Como a es la primera letra del alfabeto, el conjunto A carece de elementos; por tanto, A = Æ.

(2) No hay número que satisfaga a ambas ecuaciones x2 = 9 y 2x = 4; así que B es también vacío.

(3) Se da por sentado que todo objeto es él mismo, de modo que C es vacío. Tanto es así que algunos libros definen de esta manera el conjunto vació, es decir,

Æ = {x|x ¹ x}

(4) El número cero satisface a la ecuación x + 8 = 8, así que D consta del elemento cero. Por tanto, D no es vacío.

SUBCONJUNTOS

12.-Dado A = {x, y, z}, ¿cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son?

Solución:

Haciendo la lista de todos los subconjuntos posibles de A resultan ser:

{x, y, z}, {y, z), {x, z}, {x, y}, {x}, {y}, {z} y el conjunto vacío Æ. Hay ocho subconjuntos en A.

13.-Definir los siguientes conjuntos de figuras del plano euclidiano:

Q = {x|x es un cuadrilátero}. H = {x|x es un rombo}.

R = {x|x es un triángulo}. S = {x|x es un cuadrado}.

Decir qué conjuntos son subconjuntos propios de los otros.

Solución:

Como un cuadrado tiene 4 ángulos rectos, es un rectángulo; y como tiene 4 lados iguales, es un rombo; y puesto que tiene 4 lados, es un cuadrilátero. Según eso S Ì Q, S Ì R, S Ì H, es decir, S es un subconjunto de los otros tres. Y, además, como hay rectángulos, rombos y cuadriláteros que no son cuadrados, resulta ser S un subconjunto propio de los otros tres. De manera análoga se ve que R es un subconjunto propio de Q, y que H es un subconjunto propio de Q. No hay otras relaciones entre los conjuntos.

14.-¿Tiene todo conjunto un subconjunto propio?

Solución:

El conjunto vacío Æ no tiene subconjunto propio. Cualquier otro conjunto tiene al Æ como subconjunto propio. En algunos libros no se llama subconjunto propio al conjunto vacío; y entonces los conjuntos que tienen un solo elemento no tendrían un subconjunto propio.

15.- Demostrar: Si A es un subconjunto del conjunto vacío Æ, entonces A=Æ.

Solución:

El conjunto vacío Æ es subconjunto de cualquier conjunto; en particular, Æ Ì A. por hipótesis, A Ì Æ. De modo que por la Definición 1-1, A = Æ.

16.-¿Cómo se demuestra que un conjunto A no es un subconjunto de otro conjunto B? Demostrar que A = {2, 3, 4, 5} no es un subconjunto de B = {x|x es par}.

Solución:

Hay que demostrar que hay al menos un elemento de A que no está en B. Como 3 Î A y 3 Ï B, se ve que A no es un subconjunto de B, o sea que A Ë B. Nótese que no es necesario saber si hay o no otros elementos de A que no estén en B.

17.-Sean V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, K = {a, b} y Z = {a, b, d}. Establecer la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

(1) Y Ì X (3) W ¹ Z (5) V Ë Y (7) V Ì X (9) X = W

(2) W É V (4) Z É V (6) Z É X (8) Y Ë Z (10) W Ì Y

Solución:

(1) Como todo elemento de Y es elemento de X, resulta que Y Ì X es verdadera.

(2) El único elemento de V es d, y d también está en W; así que W es un superconjunto de V y, por tanto, W É V es falsa.

(3) Como a Î Z y a Ï W, W ¹ Z es verdadera.

(4) Z es un superconjunto de V puesto que el único elemento de V es elemento de Z; por tanto. Z É X es verdadera.

(5) Corno d Î V y d Ï Y, VË Y es verdadera.

(6) Como c Î X y c Ï Z, entonces Z no es un superconjunto de X, es decir, Z É X es verdadera.

(7) V no es un subconjunto de X, ya que d Î V y d Ï X; por tanto, V Ì X es falsa.

(8) Todo elemento de Y lo es de Z; luego Y Ë Z es falsa.

(9) Como a Î X y a Ï W, X = W es falsa.

(10) Como c Î W y c Ï Y, W no es un subconjunto de Y y, por tanto, W É Y es falsa.

18.-Sean A = {r, s, t, u, v, w:}, B = {u, v, w, x, y, z}, C = {s, u, y, z}, D = {u, v}, E = {s, u} y F = {s}. Sea X un conjunto desconocido. Determinar cuáles de los conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser iguales a X si se dan las informaciones siguientes:

(1) X Ì A y X Ì B (3) X Ë A y X Ë C

(2) X Ë B y X Ì C (4) X Ì B y X Ë C

Solución:

(1) El único conjunto que es subconjunto de A y de B es D. C, E y F no son subconjuntos de B porque s Î C, E, F y s Ï B

(2) El conjunto X puede ser igual a C, E o F, pues estos son subconjuntos de C y, como ya se vio, no son subconjuntos de B.

(3) Solo B no es subconjunto de A o de C, D y A son subconjuntos cíe A; y C, E y F son subconjuntos de C. Así que X = B.

(4) Tanto B como D son subconjuntos de B y no lo son de C. Todos los otros conjuntos dejan de cumplir al menos una de las condiciones. Por tanto, X = B o X = D.

19.-Sea A un subconjunto de B y sea B un subconjunto de C, es decir, AÌ. B y B Ì C. Suponiendo a Î A, b Î B, c Î C y, además, d Ï A, c Ï B, f Ï C, ¿cuáles afirmaciones serán ciertas?

(1) a Î C, (2) b Î A, (3) c Î A, (4) d Î B, (5) e Î A, (6) f Ï A

Solución:

(1) Por el Teorema 1-1, A es un subconjunto de C. Luego a Î A implica a Î C, y la afirmación es siempre cierta.

(2) Como el elemento b Î B puede no ser elemento de A, la afirmación es falsa.

(3) El elemento c Î C podría ser un elemento de A; por lo que c Ï A puede no ser verdad.

(4) El elemento d, que no está en A, puede no estar en B: así que la afirmación puede no ser cierta.

(5) Como c Ï B y A Ì B, cÏ. A es siempre verdadera.

(6) Como f Ï C y A Ì C, f ÏA es siempre cierta.

DIAGRAMAS LINEALES

20.-Hacer un diagrama lineal para los conjuntos A = {a, b, c}, B ={a, b} y C = {a, c}.

Solución:

Como A É B, A É C y B y C no son comparables.

PROBABILIDAD

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

El estudio científico de la probabilidad, a diferencia de lo que ha ocurrido con otras cuestiones matemáticas, porque obviamente ésta está estrechamente vinculada a la misma, no resulta ser una preocupación que se remonta a la antigüedad por ejemplo, en donde la mayoría de los grandes pensadores de ese momento ocupaban aparentemente sus pensamientos en otras cuestiones más determinantes para esa época, entonces, el estudio y la profundización acerca de la cuestión de la probabilidad, se puede decir que es más bien un acontecimiento moderno.

En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibes resultados que se pueden dar (cara o cruz) pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.

Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.

Los resultados de estas acciones dependen del azar:

Sabemos cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.

1.- Sucesos

Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

Distinguimos 3 tipos de sucesos:

Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.

Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.

Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.

Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).

Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.

Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

2.- Probabilidades de los sucesos

Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:

Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".

Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.

Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q:

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.

[editar]Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

1.- Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

2.- Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:

Casos favorables: 1 (que salga "3")

Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")

Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %

3.- Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado:

Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4")

Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")

Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %

4.- Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 1 (sacar el número 76)

Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)

Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 %

5.- Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)

Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)

Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 %

6.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve.

Solución

a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }

b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)

Oservemos que en el caso a) el experimento es con repetición.

7.- Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.

Solución

a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.

E: espacio muestral, de 20 elementos.

P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad).

b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos

B^c: extraer uba bola al azar que NO sea verde.

P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)

8.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Solución

R: extraer bola roja B: extraer bola blanca

R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)

B^c: NO extraer bola blanca, P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)

9.-En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.

Solución

H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3

M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3

P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)

10.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución

a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés

Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24

11.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)Describe los sucesos:

A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.

c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.

Solución

a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.

B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.

C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}

c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10

B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10

12.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Solución

A: les gusta ver la tele B: les gusta leer

P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120

a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)

13.- Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

Solución

a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.

b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.

14.-. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?

Solución

El espacio muestral tiene 6² = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.

15.- Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:

a) Salga 6 en todos.

b) Las caras obtenidas sumen 7.

Solución

a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.

b) El espacio muestral tiene 6³ = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.

16.-Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Solución

El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.

A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}

B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).

17.-. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas.

Solución

Sea A_i el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y B_j el suceso de sacar "j" papeletas blancas.

P(A₁) = 1 - P(B₁) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.

P(A₂) = 1 - P(B₂) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.

P(A₃) = 1 - P(B₃) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.

18.- Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Solución

Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)

	Hombre	Mujer	Total
Ojos castaños	5	10	15
Total	10	20	30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.

19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Solución

	Hombre	Mujer	Total
Casados	35	45	80
Solteros	20	20	40
Total	55	65	120

a) P(hs) = 20/120 = 1/6.

b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.

20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular:

a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.

b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Solución

	Electricidad	Mecánica	Chapa	Total
Mañana	3	8	3	14
Tarde	2	3	1	6
Total	5	11	4	20

a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%

b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%

c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.

TÉCNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N₁ maneras o formas, el segundo paso de N₂ maneras o formas y el r-ésimo paso de N_r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N₁ x N₂ x ..........x N_r maneras o formas

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

m+n maneras.

Ejemplo:

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA PLAYAS

Económico Residencial

Condominio Californiano

Provenzal

m=2 n=3

2+3= 5 maneras

PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

PRINCIPIO DE COMBINACIÓN:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n – r)!

PROBLEMAS RESUELTOS DE TÉCNICAS DE CONTEO

1.- ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

10 x 9 x 8 = 720

2.- ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se

admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION

3.- Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO

4.- Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE SUMA Y ADICIÓN

5.- Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA PLAYAS

Económico Residencial

Condominio Californiano

Provenzal

m=2 n=3

2+3= 5 maneras

PRINCIPIO DE PERMUTACION

6.- ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula de la permutación tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

7.- ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

8.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

9.- Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9