TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría
de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos:
Permite
visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman
un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para
el desarrollo de la capacidad de análisis.
CONJUNTOS:
La
palabra conjunto es una colección de objetos cuyas propiedades o
características están claramente definidas. Cada objeto que forma parte de un
conjunto se llama elemento.
Es
una colección de objetos considerados como una simple unidad. Los objetos que
determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos
pueden denotarse con letras mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con letras
minúsculas como a, b, c,… o con números separados por comas y encerrados entre
dos llaves. Así por ejemplo: el conjunto “A” formando por las vocales, la
podemos escribir: A: {a, e, i, o, u} y un conjunto “B” cuyos elementos son los
tres números impares lo denotamos B = {1, 3,5}.
Ejemplos de
conjuntos:
- Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
- N: el conjunto de los números
naturales.
- Z: el conjunto de los números enteros.
- Q : el conjunto de los números
racionales.
- R: el conjunto de los números reales.
- C: el conjunto de los números
complejos.
Subconjunto: A es
subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.
Notación: AÌB Û "x ÎAÞ xÎB
Ejemplo: El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D =
{5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.
Conjunto
Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un
subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe
considerar un subconjunto del Conjunto Universal.
Notación: U
Ejemplo:
A =
{1,3,5} B = {2,4,6,8}
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Conjunto
Potencia: se
denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos los subconjuntos
del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A
tendrá 2n elementos.
Notación:
Ejemplo:
A = {3,4,5}
P(A)= 23 = 8, lo que significa que
pueden formarse 8 subconjunto de A.
P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5},
{3,4,5}, f }.
Conjunto Vacío:
es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.
Notación: f = { x / x ¹ x }
Ejemplo:
B= {x/x2 = 4, x es
impar}. B es entonces un conjunto vacío.
Diagrama de Venn: Los diagramas de venn
permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan
mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los
conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.
Ejemplo:
Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán
finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar.
Ejemplo:
M= {a,e,i,o,u}, M es finito.
N={1,3,5,7...}, N es infinito.
Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son
disjuntos si no tienen elementos comunes.
Gráficamente:
Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son
conjuntos disjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un
conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.
Notación: AÈB= {x/xÎAÚ xÎB}
Gráficamente:
.- Intersección de
conjuntos: La intersección de
dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B.
Notación: A Ç B= {x / x Î A Ù x Î B}
Gráficamente:
Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12}
B={5,6,9,11,13,14}
Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos
los elementos que no están en el conjunto A
y que están en el universo.
Notación: Ac = {x / x ÎU Ù x ÏA}
Ac = U -
A
Gráficamente:
Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac=
{1,2,5,8,9,10}
Diferencia
de conjuntos: La
diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos
que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Notación: A - B ={x / x ÎA Ù x Ï B}
Gráficamente:
Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}
C - D
= {x, y, u}
LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO
1.- Asociatividad:
(AÈB)ÈC = AÈ(BÈC)
(AÇB)ÇC = AÇ(BÇC)
2.- Conmutatividad:
AÈB = BÈA
AÇB = BÇA
3.- Distributividad:
AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC)
AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)
4.- Absorción:
AÈ(AÇB) = A
AÇ(AÈB) = A
5.- Idempotencia:
AÈA = A
BÇB = B
EJERCICIOS RESUELTOS
Demuestre:
1.-(A - B) Ç B = f
(A Ç Bc) Ç B = f
AÇ(Bc Ç B)
= f
A Ç
f
=
f
f =
f
2.- (A –
B) Ç (A - C) =
A – (B È C)
(A Ç Bc) Ç (A Ç Cc) =
A – (B È C)
A Ç (Bc Ç A ) Ç Cc = A – (B È C)
(A Ç A) Ç(Bc Ç Cc) = A – (B È C)
A Ç
(B
È
C)c = A – (B È C)
A – (B È
C) = A – (B È C)
3.- n[A È
( B
È C ) ]
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A Ç B) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]
n[A È ( B ÈC )]
= n(A) + n(BÈC) - n[AÇ(BÈC)]
= n(A) + n(B) + n(C) - n(BÇC) - n[(AÇB)È(AÇC)]
= n(A) + n(B) +
n(C) - n(B Ç C) - n(A Ç B) - n(A Ç C) + [ n(A Ç B) Ç (AÇC)]
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ÇB) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]
4.- (A È A) Ç (A È Bc) = A
A Ç (A È Bc )
= A
A = A
A = A
5.- (B Ç C) È A =
(B È A) Ç (C È A)
A
È (B Ç C) =
(B È A) Ç (C È A)
( A È B) Ç (A È C) = (B È A) Ç (C È A)
(BÈA)Ç(CÈA) = (BÈA)Ç(CÈA)
Simplificar:
6.- A È [ (B Ç (A È B) ) Ç (A È (A Ç B) ) ]
A È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç(A È A) Ç (AÈB)
A È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç A Ç (A È B)
A È [B Ç A] È B= B
(A
È B) Ç (A È A)
(A È B) Ç (A)
A
IGUALDAD DE CONJUNTOS
7.-¿Cuáles de estos conjuntos son iguales:{r,t, s}, {s, t, r, s},
{t, s, t, r}, {s, r, s, t}?
Solución:
Son todos iguales entre sí. Obsérvese que el orden o la repetición
no cambian un conjunto.
8.-¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?
(1) {x | x es una letra en la palabra «tocata»}.
(2) Las letras de la palabra «tacto».
(3) {x | x es una letra de la palabra «cota»}.
(4) Las letras a, c, o, t.
Solución:
Escribiendo los conjuntos
en forma tabular es fácil averiguar si son o no
iguales. Una vez escritos los cuatro conjuntos en forma tabular se ve que
todos son iguales al conjunto {a, c, o, t}.
CONJUNTO VACÍO
9.-¿Cual de estas palabras es distinta de las otras y por qué?: (1)
vacío, (2) cero, (3) nulo.
Solución:
La primera y la tercera se refieren al conjunto sin elementos; la
palabra cero se refiere a un número particular y es, por tanto, la palabra
diferente.
10.-Entre los conjuntos
que siguen, ¿cuáles son diferentes?:Æ, {0}, {Æ}.
Solución:
Cada uno es diferente de los otros. El conjunto {0} contiene un
elemento, el número cero. El conjunto Æ no tiene elementos, es el conjunto vacío.
El conjunto {Æ} tiene también un
elemento que es el conjunto vacío: es un conjunto de conjuntos.
11.-¿Cuáles de estos conjuntos son vacíos?
(1) A = {x|x es una letra anterior a a en el
alfabeto}. (3) C = {x|x ¹ x}
(2) B = {x|x2 = 9 y 2x = 4}. (4) D = (x|x + 8 = 8}.
Solución:
(1) Como a es la primera letra del alfabeto, el
conjunto A carece de elementos; por tanto, A = Æ.
(2) No hay número que satisfaga a ambas ecuaciones
x2 = 9 y 2x = 4; así que B es también vacío.
(3) Se da por sentado que todo objeto es él mismo,
de modo que C es vacío. Tanto es así que algunos libros definen de esta manera
el conjunto vació, es decir,
Æ = {x|x
¹ x}
(4) El número cero satisface a la ecuación x + 8 =
8, así que D consta del elemento cero. Por tanto, D no es vacío.
SUBCONJUNTOS
12.-Dado A = {x, y, z}, ¿cuántos subconjuntos hay en A y cuáles
son?
Solución:
Haciendo la lista de todos los subconjuntos posibles de A resultan
ser:
{x, y, z}, {y, z), {x, z}, {x, y}, {x}, {y}, {z} y el conjunto
vacío Æ. Hay ocho subconjuntos
en A.
13.-Definir los siguientes conjuntos de figuras del plano
euclidiano:
Q = {x|x
es un cuadrilátero}. H = {x|x
es un rombo}.
R = {x|x es un triángulo}. S
= {x|x es un cuadrado}.
Decir qué conjuntos son subconjuntos propios de los otros.
Solución:
Como un cuadrado tiene 4 ángulos rectos, es un rectángulo; y como tiene 4 lados iguales, es un rombo; y puesto que tiene 4
lados, es un cuadrilátero. Según eso S Ì Q, S Ì R, S Ì H, es
decir, S es un subconjunto de los otros tres. Y, además, como hay rectángulos,
rombos y cuadriláteros que no son cuadrados, resulta
ser S un subconjunto propio de los otros tres. De manera análoga se ve que R es
un subconjunto propio de Q, y que H es un subconjunto propio de Q. No hay otras
relaciones entre los conjuntos.
14.-¿Tiene todo conjunto un subconjunto propio?
Solución:
El conjunto vacío Æ no tiene subconjunto propio. Cualquier
otro conjunto tiene al Æ como subconjunto propio. En algunos libros no se llama
subconjunto propio al conjunto vacío; y entonces los conjuntos que tienen un
solo elemento no tendrían un subconjunto propio.
15.- Demostrar: Si A es un subconjunto del
conjunto vacío Æ,
entonces A=Æ.
Solución:
El conjunto vacío Æ es subconjunto
de cualquier conjunto; en
particular, Æ Ì A. por hipótesis, A Ì Æ. De modo que por la
Definición 1-1, A = Æ.
16.-¿Cómo se demuestra que un conjunto A no es un subconjunto de
otro conjunto B? Demostrar que A = {2,
3, 4, 5} no es un subconjunto
de B = {x|x es par}.
Solución:
Hay que demostrar que hay al menos un elemento de A que no está en
B. Como 3 Î A y 3 Ï B, se ve que A
no es un
subconjunto de B, o sea que A Ë B. Nótese que no es
necesario saber si hay o no otros elementos de A que no estén en B.
17.-Sean V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, K = {a, b} y Z = {a,
b, d}. Establecer la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(1) Y Ì X (3) W ¹ Z (5) V Ë Y (7) V Ì X (9) X = W
(2) W É V (4) Z É V (6) Z É X (8) Y Ë Z (10)
W Ì Y
Solución:
(1) Como todo elemento de Y es elemento de X,
resulta que Y Ì X
es verdadera.
(2) El único elemento de V es d, y d también está
en W; así que W es un superconjunto de V
y, por tanto, W É V es falsa.
(3) Como a Î Z y a Ï W, W ¹ Z es
verdadera.
(4) Z es un superconjunto de V puesto que el
único elemento de V es elemento de Z; por tanto. Z É X es verdadera.
(5) Corno d Î V y d Ï Y, VË
Y es verdadera.
(6) Como c Î X y c Ï Z, entonces Z no es un
superconjunto de X, es decir, Z É X es
verdadera.
(7) V no es un subconjunto de X, ya que d Î V y d Ï
X; por tanto, V Ì X es falsa.
(8) Todo elemento de Y lo es de Z; luego Y Ë Z es
falsa.
(9) Como a Î X y a Ï W, X = W es falsa.
(10)
Como c Î
W y c Ï Y, W no es un subconjunto de Y y,
por tanto, W É Y es falsa.
18.-Sean A = {r, s, t,
u, v, w:}, B = {u, v, w, x, y, z},
C = {s, u, y, z}, D = {u, v}, E =
{s, u} y F = {s}. Sea X un conjunto desconocido. Determinar cuáles de los
conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser iguales a X si se dan las informaciones
siguientes:
(1) X Ì A y X
Ì B (3)
X Ë A y X Ë C
(2) X Ë B y X
Ì C (4)
X Ì B y X Ë C
Solución:
(1) El
único conjunto que es subconjunto de A y de B es D. C, E y F no son
subconjuntos de B porque s Î C, E,
F y s Ï B
(2) El
conjunto X puede ser igual a C, E o F, pues estos son subconjuntos de C y, como
ya se vio, no son subconjuntos de B.
(3) Solo
B no es subconjunto de A o de C, D y A son subconjuntos cíe A; y C, E y F son
subconjuntos de C. Así que X = B.
(4) Tanto
B como D son subconjuntos de B y no lo son de C. Todos los otros conjuntos
dejan de cumplir al menos una de las condiciones. Por tanto, X = B o X = D.
19.-Sea A un subconjunto de B y sea B un subconjunto de C, es
decir, AÌ. B y B Ì C. Suponiendo a Î A,
b Î B, c Î C y, además, d Ï A, c Ï B, f Ï C, ¿cuáles afirmaciones
serán ciertas?
(1)
a Î C, (2) b Î A, (3) c Î A, (4) d Î B, (5) e Î
A, (6) f Ï A
Solución:
(1) Por el Teorema 1-1, A es un subconjunto de C. Luego a Î A implica
a Î C, y la afirmación es siempre
cierta.
(2) Como el elemento b Î B puede no ser elemento de A, la
afirmación es falsa.
(3) El elemento c Î
C podría ser un elemento de A; por lo que c Ï
A puede no ser verdad.
(4) El elemento d, que no está en A, puede no
estar en B: así que la afirmación puede no ser cierta.
(5) Como c Ï B y A Ì B, cÏ. A es siempre verdadera.
(6) Como f Ï C y A Ì C, f ÏA es siempre cierta.
DIAGRAMAS LINEALES
20.-Hacer un diagrama lineal para
los conjuntos A = {a, b, c}, B ={a, b} y C = {a, c}.
Solución:
Como A É B, A É
C y B y C no son comparables.
PROBABILIDAD
La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias
posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad,
entonces, mide la frecuencia con la cual se
obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre
el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de
estabilidad que el contexto supone de antemano.
El estudio
científico de la probabilidad, a diferencia de lo que ha ocurrido con otras
cuestiones matemáticas, porque obviamente ésta está estrechamente vinculada a
la misma, no resulta ser una preocupación que se remonta a la antigüedad por
ejemplo, en donde la mayoría de los grandes pensadores de ese momento ocupaban
aparentemente sus pensamientos en otras cuestiones más determinantes para esa
época, entonces, el estudio y la profundización acerca de la cuestión de la
probabilidad, se puede decir que es más bien un acontecimiento moderno.
En
ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las
que conocemos de antemano los posibes resultados que se pueden dar (cara o
cruz) pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.
Lo
mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o
6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.
Los
resultados de estas acciones dependen del azar:
Sabemos
cuales pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.
1.- Sucesos
Llamamos sucesos a los posibles resultados de una
acción que depende del azar.
Distinguimos
3 tipos de sucesos:
Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.
Por
ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.
Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.
Por
ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene
el número 7).
Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.
Por
ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un
dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).
2.- Probabilidades de los sucesos
Dentro
de los sucesos posibles vamos a distinguir:
Suceso
igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los
demás:
Por
ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las
mismas probabilidades que el suceso "cruz".
Suceso
muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:
Por
ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso
"sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas
probabilidades de ocurrir.
Suceso
poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:
Por
ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar
la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.
La probabilidad de un evento se denota con
la letra p y se expresa en términos de una
fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la
probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor
de p y se denota con la letra q:
Regla de la adición
La regla de
la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de
cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades
individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que
dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) =
P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) +
P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de
ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y
B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.
[editar]Regla
de la multiplicación
La regla de
la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más
eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus
probabilidades individuales.
P(A y B) =
P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A)
si A y B son dependientes
EJERCICIOS
RESUELTOS DE PROBABILIDAD
1.- Calcular la
probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:
Casos favorables: 1 (que salga "cara")
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o
"cruz")
Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %
2.- Calcular la probabilidad de que salga "3" al
lanzar un dado:
Casos favorables: 1 (que salga "3")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o
6")
Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %
3.- Calcular la probabilidad de que salga "un número entre
1 y 4 " al lanzar un dado:
Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los
siguientes resultados "1, 2, 3, o 4")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o
6")
Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %
4.-
Calcular la probabilidad de que salga
el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1
al 100:
Casos favorables: 1 (sacar el número 76)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 %
5.- Calcular la
probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una
bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1
y 98)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (98 / 100 ) * 100
= 98 %
6.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca,
otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La
primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera
bola no se devuelve.
Solución
a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB,
NR, NV, NN }
b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV
} (definición de espacio muestral)
Oservemos que en el caso a) el experimento es con
repetición.
7.- Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae
una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.
Solución
a) A: extraer uba bola al
azar que sea roja, tiene 8 elementos.
E:
espacio muestral, de 20 elementos.
P(A) = 8/20 = 2/5
(definición de probabilidad).
b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
Bc: extraer uba
bola al azar que NO sea verde.
P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20
(propiedad 5)
8.- Se extrae una bola de una
urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad
de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
blanca?
Solución
R: extraer bola roja
B: extraer bola blanca
R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) +
P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos
comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)
Bc: NO extraer bola blanca, P(Bc)
= 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)
9.-En una clase hay 10 alumnas rubias, 20
morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la
probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la
probabilidad que un estudiante sea rubio.
Solución
H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3
M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay
elementos comunes entre H y M)
10.- En
un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben
hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los
dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés,
sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución
a) Suceso A: Saben hablar inglés.
Suceso B: Sabe hablar francés
Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos
en común, por tanto:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120
= 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) =
(12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son
los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24
11.- De una bolsa que tiene 10
bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)Describe los sucesos:
A: "Mayor que
6" B: "No obtener
6" C : "Menor que 6"
escribiendo todos sus elementos.
c) Hallar la probabilidad de los
sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.
Solución
a) Espacio Muestral: E =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A: "Mayor que
6" A =
{7,8,9}.
B: "No obtener 6" B
= {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.
C :
"Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}
c) P(AUB) =
P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes),
entonces P(A∩B) = 3/10
B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10
12.-
Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si
les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le
guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste
leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste
leer?
Solución
A: les gusta ver la tele
B: les gusta leer
P(A∩B) =
32/120, P(B) =
92/120, P(A) = 47/120
a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120
(propiedad de eventos complementarios)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) =
32/47 (probabilidad condicionada)
c) P(B)
= 92/120 (definición de probabilidad)
13.- Un dado está trucado, de
forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales
a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
Solución
a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1)
+ P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3)
= 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras),
entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21,
entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.
b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 =
3/7.
14.-. Se lanzan dos dados al aire y se anota
la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?
Solución
El espacio muestral tiene 62 = 36 resultados, de los cuales suman 7
los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la
probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.
15.- Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Las caras obtenidas sumen 7.
Solución
a) Sea A el evento de obtener la cara
del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) =
(1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.
b) El espacio muestral tiene 63 = 216 resultados, de los cuales suman
7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4);
(2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1);
(5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.
16.-Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se
obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Solución
El espacio muestral son las 28 fichas
del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el
suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.
A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}
B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5),
(4:4), (6:6)}
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 +
7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son
compatibles por tener un elemento en común).
17.-. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las
restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta
con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos
papeletas, c) se sacan tres papeletas.
Solución
Sea Ai el suceso de sacar "i"
papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y Bj el suceso de sacar "j"
papeletas blancas.
P(A1)
= 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.
P(A2)
= 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.
P(A3)
= 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.
18.- Una clase consta de
10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres
tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida
al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE
CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en
la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)
Hombre
|
Mujer
|
Total
|
|
Ojos castaños
|
5
|
10
|
15
|
Total
|
10
|
20
|
30
|
Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el
suceso de que tenga los ojos castaños.
P(AUB) = P(A) +
P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.
19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores
clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están
casados y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál
será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si
del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una
mujer?
Solución
Hombre
|
Mujer
|
Total
|
|
Casados
|
35
|
45
|
80
|
Solteros
|
20
|
20
|
40
|
Total
|
55
|
65
|
120
|
a) P(hs) = 20/120 = 1/6.
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.
20. Un taller
sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas
eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por
la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con
problemas de chapa. Calcular:
a) El
porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El
porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La
probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
Solución
Electricidad
|
Mecánica
|
Chapa
|
Total
|
|
Mañana
|
3
|
8
|
3
|
14
|
Tarde
|
2
|
3
|
1
|
6
|
Total
|
5
|
11
|
4
|
20
|
a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%
b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%
c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.
TÉCNICAS DE CONTEO
El principio
fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el
número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre
carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento
A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido,
otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número
total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden
indicado, es igual a n1 x n2.
PRINCIPIO DE
LA MULTIPLICACIÓN
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x
N2 x ..........x Nr maneras o formas
PRINCIPIO
ADITIVO.
Si se desea
llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o
formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N +
.........+ W maneras o formas
PRINCIPIO DE
LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja
que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el
fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un
condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como
modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas
diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano
Provenzal
m=2
n=3
2+3= 5 maneras
PRINCIPIO DE
PERMUTACIÓN:
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r)
PRINCIPIO DE COMBINACIÓN:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones:
AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones:
AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n! r! (n – r)!
1.-
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3
premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede
obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del
conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido
entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para
el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
2.-
¿Cuántas placas de automóvil se pueden
hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
PRINCIPIO DE MULTIPLICACION
3.- Se dispone
de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De
cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a
C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO
ADITIVO
4.- Una
persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede
seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude
a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos
tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca
GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores
diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar
una lavadora?
Solución:
M = Número
de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número
de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número
de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M
= 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x
2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x
1 = 2 maneras
M + N
+ W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE
SUMA Y ADICIÓN
5.-
Una pareja que se tiene que casar, junta
dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le
ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le
ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un
provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano
Provenzal
m=2
n=3
2+3= 5 maneras
PRINCIPIO DE
PERMUTACION
6.- ¿Como
se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15
participantes?
Aplicando la formula de la permutación tenemos:
Aplicando la formula de la permutación tenemos:
n P r
= n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)!
11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Donde: n=
número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial,
producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
7.- ¿Cuántos números
de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n =
5
Sí entran todos los elementos. De 5
dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números
distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El
enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
8.- ¿De cuántas
formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
9.- Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4;
¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9 a =
3 b = 4 c = 2
a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
10.- Con
las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden
hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes
tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
11.-. ¿Cuántos
números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?
¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
12.- En
el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y
cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de
las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
13.-. ¿De
cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la
portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar
10 posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
14.-
Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas
distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van
juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas
y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
COMBINACIONES
15.-En una
compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de
las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7
cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3
colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las
42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3!
4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
16.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité
formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
17.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del
arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran
todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
18.-A una reunión asisten 10 personas y se intercambian
saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
19.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de
botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y
2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella
del mismo tipo.
20.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han
de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
PROBABILIDAD SIMPLE
La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por
ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas
obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno,
excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Problemas resueltos
b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve.
Solución
a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }
b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)
Oservemos que en el caso a) el experimento es con repetición.
2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.
Solución
a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.
E: espacio muestral, de 20 elementos.
P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad).
b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
Bc: extraer uba bola al azar que NO sea verde.
P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)
3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo
Solución:
R: extraer bola roja B: extraer bola blanca
E = { RR, RB, BR, BB }
a) Con reemplazo
RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
b) Sin reemplazo
RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
4. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
Solución
R: extraer bola roja B: extraer bola blanca
R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)
Bc: NO extraer bola blanca, P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)
5. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.
Solución
H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3
M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)
6. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución
a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés
Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24
7. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)Describe los sucesos:
A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.
c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.
Solución
a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.
B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.
C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}
c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10
B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10
8. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución
a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)
b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes)
c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52.
d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)
Los cálculos anteriores son bajo el supuesto de que la baraja española de 40 cartas tienen 10 oros y 10 copas, más información sobre la baraja española en la página:http://www.salonhogar.net/Enciclopedia/Baraja_espanola/Indice.htm
9. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución
A: les gusta ver la tele B: les gusta leer
P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120
a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)
10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
Solución
Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad).
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
11. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución
Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
12. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
Solución
a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.
b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.
13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?
Solución
El espacio muestral tiene 62 = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.
14. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Las caras obtenidas sumen 7.
Solución
a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.
b) El espacio muestral tiene 63 = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.
15. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Solución
El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.
A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}
B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).
16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas.
Solución
Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y Bj el suceso de sacar "j" papeletas blancas.
P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.
P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.
P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.
17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen
Solución
P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.
18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)
Hombre | Mujer | Total | |
Ojos castaños | 5 | 10 | 15 |
Total | 10 | 20 | 30 |
Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.
19.-Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si
se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
20.-Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
20.-Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO
EXCLUYENTES
Eventos mutuamente excluyentes y
eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o
disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la
ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o
eventos).
Ejemplo
:Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga
cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos
eventos son excluyentes. Dos o más eventos
son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible
que ocurran ambos.
Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
Ejemplo
:Si
consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos
eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Reglas de la
Adición
La Regla de la Adición expresa que: la
probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:P(A o B) =
P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
si A y B son
mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)
si A y B son no excluyentes
Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B)
= probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de
ocurrencia simultanea de los eventos A y B
Evento mutuamente excluyente:
Son
aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden
suceder al mismo tiempo
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:
(PnA)=P(A)P(B)
EVENTOS DEPENDIENTES
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
4._ La probabilidad de que un jefe de familia esté en casa cuando un representante de MCI llame es de 0.40.
Dado que el jefe de familia está en casa, la probabilidad de que ocurra un cambio de compañía para las
llamadas de larga distancia es de 0.30. Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia esté en casa y
cambie a MCI para el servicio de llamadas de larga distancia.
P(Casa) = 0.40 ; P(MCI | Casa) = 0.30; P(Casa y MCI) = P(Casa)P(MCI | Casa) = (0.40) (03.0) = 0.12
5.- La probabilidad de que cierta persona salga a desayunar es de 0.40 y la probabilidad de que si sale a
desayunar gaste más de $5.00 es de 0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que salga a desayunar y gaste
más de $5.00?
P(Des) = 0.40; P(Gaste | Des) = 0.75 ; P(Des y Gaste) = P(des) P(gaste | Des) = (0.40)(0.75) = 0.30
6.-. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad en particular es de
0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una
demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el
paciente lo demande?
P(Correcta) = 0.70; P(Incorrecto) = 1- 0.70 = 0.30; P(Demande | Incorrecto) = 0.90; P(Incorrecto y
demanda) = (0.30)(0.90) = 0.27
7.- Se extraen cinco cartas con reemplazo de una baraja normal de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de
obtener en todas las extracciones un as.
P(AS y AS y AS y AS y AS) = (4/52) (4/52) (4/52) (4/52) (4/52) = 0.0000027
Nótese que al reponer la carta se generan eventos independientes.
8.- Se sabe que la probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste en un tiro libre es de 0.40. Si hace
4 intentos de tiro libre
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean encestes?
Nótese que el encestar o no es independiente entre un intento y otro
P(Todos encestes) = P(E) P(E) P(E) P(E) = (0.40) 4
= 0.0256
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un tiro sea enceste?
Usando la regla del complemento, La probabilidad de al menos un enceste es 1 – P(Cero
encestes)
P(Cero encestes) = (0.6) 4
= 0.1296
P(Al menos un enceste) = 1 -0.1296 = 0.8704
9-.. Un estudiante tiene problemas para despertarse en la mañana y llegar a tiempo a clases. Él tiene 3
despertadores puestos con tiempo suficiente para llegar puntual a clases. Si la probabilidad de que
funcionen correctamente es de 0.95 y cada despertador funciona de manera independiente,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los despertadores falle?
Como son 3 despertadores Hay tres formas posibles de que sólo un despertador falle. Pero
como funcionan de manera independiente entonces,
P(Sólo uno falle) = 3 (.05)(0.95)(0.95) = 0.1354
b) Si el estudiante depende únicamente del funcionamiento de los despertadores para que llegue a
tiempo a clases. ¿cuál es la probabilidad de que llegue puntual a clases?
El estudiante llegará al tiempo si al menos un despertador funciona. Por lo tanto
P(llegar a tiempo)= P(Al menos un despertador funcione) = 1 – P(ninguno funcione) por la ley
del complemento.
P(ninguno) = (0.05) (0.05) (0.05) = 0.000125
P(Al menos 1) = 1- P(ninguno) = 1 – 0.000125= 0.999875
10.-
Respuesta.
a) El enunciado nos muestra que P(A)=1/6, P(B)=1/3, P©=1/2.
Usando la fórmula de las probabilidades totales se obtienen la probabilidad pedida:
b) Utilizamos el teorema de Bayes para solucionar este apartado.
11..- Considere que en el lanzamiento de 4 dados aparece al menos un par ¿Cuál es la probabilidad
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:
(PnA)=P(A)P(B)
EVENTOS DEPENDIENTES
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos
1.-La probabilidad de que una persona entre conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la probabilidad de
que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es
de 0.08. a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad o sin licencia? b) ¿Cuál es la
probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad?
P(EV) = 0.35 ; P( SL ) = 0.15 = P(EV ∩ SL ) = 0.08
P(EV U SL ) = 0.35 + 0.15 – 0.08 = 0.42
P(SL | EV) = 0.08/0.35 = 0.2286
2.- La probabilidad de que una persona posea un teléfono celular es de 0.35, la probabilidad de que sea un
profesionista es de 0.25 y la probabilidad de que ya sea profesionista o posea un teléfono celular es de 0.50.
Encuentre la probabilidad de que una persona a) Posea un teléfono celular y sea profesionista; b) Sea
profesionista dado que no posee un teléfono celular; c) Posea un teléfono celular dado que es profesionista.
P(CE) = 0.35; P(PF) = 0.25 P(PF U CE) = 0.50
P(CE ∩ PF) = 0.35 + 0.25 – 0.50 = 0.10.
P(PF | CE’) = 0.25/0.65 = 0.3846
P(CE | PF) = 0.10/0.25 = 0.40
3.-La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de
que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a
tiempo es de 0.40. Calcule la probabilidad de que el avión: a) Llegue a Houston dado que no llegó a tiempo a
Denver; b) Llegue a Houston dado que llegó a Tiempo a Denver.
P(D ) = 0.30; P(H) = 0.40; P(H’ ∩ D’ ) = 0.40
P(H | D’) = 0.30/0.70 = 0.4286
P(H | D) = 0.10/0.30 = 0.3333
4._ La probabilidad de que un jefe de familia esté en casa cuando un representante de MCI llame es de 0.40.
Dado que el jefe de familia está en casa, la probabilidad de que ocurra un cambio de compañía para las
llamadas de larga distancia es de 0.30. Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia esté en casa y
cambie a MCI para el servicio de llamadas de larga distancia.
P(Casa) = 0.40 ; P(MCI | Casa) = 0.30; P(Casa y MCI) = P(Casa)P(MCI | Casa) = (0.40) (03.0) = 0.12
5.- La probabilidad de que cierta persona salga a desayunar es de 0.40 y la probabilidad de que si sale a
desayunar gaste más de $5.00 es de 0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que salga a desayunar y gaste
más de $5.00?
P(Des) = 0.40; P(Gaste | Des) = 0.75 ; P(Des y Gaste) = P(des) P(gaste | Des) = (0.40)(0.75) = 0.30
6.-. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad en particular es de
0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una
demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el
paciente lo demande?
P(Correcta) = 0.70; P(Incorrecto) = 1- 0.70 = 0.30; P(Demande | Incorrecto) = 0.90; P(Incorrecto y
demanda) = (0.30)(0.90) = 0.27
7.- Se extraen cinco cartas con reemplazo de una baraja normal de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de
obtener en todas las extracciones un as.
P(AS y AS y AS y AS y AS) = (4/52) (4/52) (4/52) (4/52) (4/52) = 0.0000027
Nótese que al reponer la carta se generan eventos independientes.
8.- Se sabe que la probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste en un tiro libre es de 0.40. Si hace
4 intentos de tiro libre
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean encestes?
Nótese que el encestar o no es independiente entre un intento y otro
P(Todos encestes) = P(E) P(E) P(E) P(E) = (0.40) 4
= 0.0256
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un tiro sea enceste?
Usando la regla del complemento, La probabilidad de al menos un enceste es 1 – P(Cero
encestes)
P(Cero encestes) = (0.6) 4
= 0.1296
P(Al menos un enceste) = 1 -0.1296 = 0.8704
9-.. Un estudiante tiene problemas para despertarse en la mañana y llegar a tiempo a clases. Él tiene 3
despertadores puestos con tiempo suficiente para llegar puntual a clases. Si la probabilidad de que
funcionen correctamente es de 0.95 y cada despertador funciona de manera independiente,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los despertadores falle?
Como son 3 despertadores Hay tres formas posibles de que sólo un despertador falle. Pero
como funcionan de manera independiente entonces,
P(Sólo uno falle) = 3 (.05)(0.95)(0.95) = 0.1354
b) Si el estudiante depende únicamente del funcionamiento de los despertadores para que llegue a
tiempo a clases. ¿cuál es la probabilidad de que llegue puntual a clases?
El estudiante llegará al tiempo si al menos un despertador funciona. Por lo tanto
P(llegar a tiempo)= P(Al menos un despertador funcione) = 1 – P(ninguno funcione) por la ley
del complemento.
P(ninguno) = (0.05) (0.05) (0.05) = 0.000125
P(Al menos 1) = 1- P(ninguno) = 1 – 0.000125= 0.999875
10.-
En una fábrica se utilizan tres máquinas A,B y C par producir independientemente el mismo artículo. La máquina A produce 100 cajas diarias, la B produce 200 y la C 300, y todas las cajas contienen el mismo número de artículos. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es 0,06 para la máquina A, 0,02 para la B y 0,01 para la C. De la producción de un día se escoge al azar una caja y se extrae un artículo de esta caja también al azar. Calcular la probabilidad:
a)Que el articulo escogido sea defectuoso.
b)Que el articulo escogido haya sido fabricado por la máquina B, sabiendo que es defectuoso.
Respuesta.
a) El enunciado nos muestra que P(A)=1/6, P(B)=1/3, P©=1/2.
Usando la fórmula de las probabilidades totales se obtienen la probabilidad pedida:
b) Utilizamos el teorema de Bayes para solucionar este apartado.
11..- Considere que en el lanzamiento de 4 dados aparece al menos un par ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma de los resultados es par? Resultado 7/15
12.-Se lanza un dado tantas veces como sea necesario hasta que aparezca un tres. Si suponemos
que el tres no aparece en la primera lanzada
(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten más de cuatro lanzadas?
(a) Definimos los eventos:
A es el evento que la primera lanzada no es tres.
B es el evento en el que en las primeras cuatro lanzadas no sale tres.
p(B|A) es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzadas para que aparezca tres
si en la primera no sale tres. Debemos calcular p(B ∩ A) y p(A). Puesto que B ∩ A = B
¿Porque? entonces p(B ∩A) = p(B) = 5
4
6
4 y p(A) = 5/6
. Así
p(B|A) = 5 ^3/ 6^3
12.- . En una fábrica de televisores las máquinas I,II y III producen respectivamente el 28%, el
32% y el 40% del total. En la producción de cada máquina el 3%, 4% y el 5% son televisores
defectuosos. Se toma al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso
¿Cuales son las probabilidades que haya sido producido por:
(a) la máquina I
(b) la máquina II
(c) la máquina III
Resultados: a) 21 b)32/103 c) 103/150
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
ESPACIO MUESTRAL. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico
denotado por “S” o “Ω ”
VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la
duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.
VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio
muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.
Una variable aleatoria se puede clasificar en:
Variable aleatoria discreta.
Variable aleatoria continua.
Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos
cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.
La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.
El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.
Número de circuitos en una computadora.
El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos
Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos
valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.
1. Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:
Datos:
5 buenas
n = 7 2 defectuosas
r = 3
X = Numero de colchas defectuosas
X = 0, 1, 2
2.- Sea X el número que se obtiene al arrojar un dado legal. Encontrar la distribución de probabilidad correspondiente.
Solución.
Los valores que puede tomar la variable aleatoria son 1, 2, 3, 4, 5, 6 y como el dado es legal, todos los valores tienen probabilidad 1/6. En consecuencia:
xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
f(xi)
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
Para representar gráficamente la distribución de probabilidad se usa un diagrama de líneas. Para construir este gráfico, los distintos valores de la variable aleatoria X se registran en el eje horizontal. En cada valor xi se dibuja una línea vertical cuya altura es igual a la probabilidad correspondiente f(xi).
3.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por
experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el
restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de
que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
SOLUCIÓN:
Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1)
finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue
una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio.
Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n
reservas (δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable
aleatoria Yn =
∑=
n
i 1
δ1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular
del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que
han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se
tiene que:
*0,2 *(1 0,2) 0,5799
4,-
Suponga que dos productos A y B de la misma calidad son comparados por cuatro personas, las cuales expresan su preferencia por A o por B. Sea X la variable aleatoria definida como el número de personas que prefieren el producto A. Encontrar la distribución de probabilidad.
Solución.
El espacio muestral correspondiente es:
S = {AAAA, AAAB, AABA, ABAA, BAAA, AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BBAA, BABA, ABBB, ABBB, BBAB, BBBA, BBBB}
donde cada punto muestral es una sucesión de cuatro símbolos A o B.
Los elementos del espacio muestral (eventos simples), los podemos escribir en la forma siguiente:
AAAA AAAB AABB ABBB BBBB
AABA ABAB BABB
ABAA ABBA BBAB
BAAA BAAB BBBA
BBAA
BABA
5.-
Una tienda pone en venta de liquidación sus últimos 15 radios despertador. Se desconoce que 5 de estos radios están defectuosos. Un comprador selecciona al azar tres radios y los prueba. Sea X la variable aleatoria definida como el número de radios defectuosos entre los seleccionados. Construya la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
Solución.
Como únicamente estamos interesados en el número de radios defectuosos entre los seleccionados, resulta irrelevante el orden en el cual se seleccionan los radios. Podemos calcular directamente las probabilidades para los diferentes valores de X, haciendo uso del concepto de combinaciones.
En este ejemplo no es necesario describir al espacio muestral para poder determinar los diferentes valores de la variable, ya que resulta evidente que el número de radios defectuosos en la muestra puede ser 0, 1, 2 ó 3, es decir: xi= 0, 1, 2, 3.
6.- Sea X la variable aleatoria que indica la suma de los puntos en las caras superiores al lanzar dos dados, Determine el espacio muestra, el conjunto de valores de X y las probabilidades respectivas.
Solución: El espacio muestral S es el conjunto de los 36 pares ordenados que se indican a continuación:
7.-Para promocionar sus helados de paleta, una f´abrica pone cada 15 helados una etiqueta que
dice “vale otro”. Cualquiera persona que compre un helado y le salga “vale otro.obtiene uno
gratis. Estos helados cuestan 100 pesos cada uno. Si Ud. decide comprar estos helados hasta
obtener uno gratis. ¿Cu´anto esperar´ıa gastar?
Sea X : n´umero de helados hasta obtener uno gratis, X ∼ G(p = 1/15
E[X] = 1
p = 15 helados
pero como cada helado cuesta $100, se esperar´ıa gastar $1500.
8.-. Los libros que salen de una imprenta se clasican en defectuosos (si tienen defectos
de impresion) y no defectuosos (si no tienen defectos de impresion). Se supone que la cantidad
de libros que salen de dicha imprenta es tan grande, que puede considerarse innita. Por tanto,
si elegimos y apartamos un libro, esto no altera el porcentaje de libros no defectuosos, que es
95 %.
a) Si se eligen al azar 20 libros, >cual es la probabilidad de que 18 de ellos sean no defec-
tuosos?
b) Si se eligen al azar 25 libros, >cual es la probabilidad de que el numero de libros no
defectuosos sea mayor o igual que 21?
a) Sea X=numero de libros no defectuosos, entre los 20 elegidos al azar. Entonces X
B(n = 20; p = 0095). Por tanto, P(X = 18) = FX(18) FX(17) = 00188677.
b) Sea X=numero de libros no defectuosos, entre los 25 elegidos al azar. Entonces X
B(n = 25; p = 0095). Por tanto, P(X 21) = 1 FX(20) = 00992835.
9.- Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan en una biblioteca escolar se devuelven
con retraso. Se realiza el experimento que consiste en observar si la devolucion de cada libro
se ha hecho con retraso o no. Se eligen al azar 12 libros prestados.
a) >Cual es la probabilidad de que se devuelvan con retraso 2 libros?
b) >Cual es la probabilidad de que se devuelvan con retraso mas de 2 libros?
l azar. Entonces X B(n = 12; p = 0004).
a) P(X = 2) = FX(2) FX(1) = 00070206.
b) P(X > 2) = 1 FX(2) = 00010729.
10.-Supongamos que el 1 % de la poblacion de todos los usuarios de un centro de docu-
mentacion tiene menos de 10 a~nos. Supongamos, tambien, que la poblacion es sucientemente
grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje.
Se eligen al azar 15 usuarios de dicho centro de documentacion. Calcular:Dra. Josefa Marn Fernandez. Grado en Informacion y Documentacion. Estadstica. Tema 5 7
a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 10 a~nos.
b) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos 3 usuarios o menos.
c) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos menos de 3 usuarios.
d) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos mas de 2 usuarios.
e) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos 2 usuarios o mas.
f) La probabilidad de que el numero de usuarios con menos de 10 a~nos este comprendida
entre 2 (incluido) y 10 (incluido).
g) El numero medio de usuarios con menos de 10 a~nos.
Sea X=numero de usuarios con menos de 10 a~nos, entre los 15
elegidos al azar. Entonces X B(n = 15; p = 0001).
a) P(X = 0) = FX(0) = 00860058.
b) P(X 3) = FX(3) = 00999988.
c) P(X < 3) = FX(2) = 00999584.
d) P(X > 2) = 1 FX(2) = 00000416.
e) P(X 2) = 1 FX(1) = 00000963.
f) P(2 X 10) = FX(10) FX(1) = 00000963.
g) E(X) = np = 0015 usuarios con menos de 10 a~n
REPRESENTACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD PARA LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Distribución aleatoria
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros.
Ejemplos de variable aleatoria
• Número de caras obtenidas al lanzar tres monedas: 0, 1, 2, 3.
• Suma de las caras superiores obtenidas al lanzar dos dados: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Una distribución de probabilidad indica toda la de valores que pueden representarse como de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las actuales de diversos fenómenos naturales.
Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades.
En el presente , se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentaciónmatemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.
CALCULO DE LA MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (radio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
1,. Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):
Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.
Respuesta:
Media = |
600 + 470 + 170 + 430 + 300
| = |
1970
| = 394 |
5
|
5
|
Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:
Varianza: σ2 = |
2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2
| = |
108,520
| = 21,704 |
5
|
5
|
Así que la varianza es 21,704.
Desviación estándar: σ = √21,704 = 147
2.- Las edades de una muestra de turistas canadienses que vuelan de Toronto a Hong Kong, fueron :
32 21 60 47 54 17 72 55 33 41 |
a) Calcule la amplitud de variación
b) Determine la desviación media
c) Evalúe la desviación estándar
3.- Los pesos ( en libras ) de una muestra de cinco cajas enviadas por el servicio de mensajería UPS es :
12 6 7 3 10
a) Obtenga la amplitud de variación
12 - 3 = 9
b) Calcule la desviación media
c) Determine la desviación estándar
4.-
La Empresa Trout, inc cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando adquieren cierto peo. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con una mezcla especial denominada RT - 10. Al final del período experimental los precios de las truchas fueron (en gramos):
124 125 125 123 120 124 127 125 126 121 |
a) Calcule la varianza usando la fórmula de la desviación
b) Calcule la varianza usando la formula directa
c) Determine la desviación estándar muestral
5.-
Considere los seis valores siguientes como una población :
13 3 8 10 8 6
a) Calcule la media de la población
b) Halle el valor de la varianza
6.-
Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:
42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35
30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32
54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21
42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27
53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58
56 59 60 40 24
Elabore una tabla de frecuencias.
Calcule la media y la desviación típica.
SOLUCIÓN:
Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:
Edad n
20-29 14
30-39 17
40-49 22
50-59 18
60-69 9
Total 80
Cálculo de la media:
Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado es una media de 43,29. También:
Edad
|
xi
|
ni
|
xini
|
20-29
|
25
|
14
|
350
|
30-39
|
35
|
17
|
595
|
40-49
|
45
|
22
|
990
|
50-59
|
55
|
18
|
990
|
60-69
|
65
|
9
|
585
|
Total |
80
|
3510
|
, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.
Cálculo de la desviación típica:
Edad
|
xi
|
ni
| |||
20-29
|
25
|
14
|
-18,875
|
356,2656
|
4987,71875
|
30-39
|
35
|
17
|
-8,875
|
78,7656
|
1339,01563
|
40-49
|
45
|
22
|
1,125
|
1,2656
|
27,84375
|
50-59
|
55
|
18
|
11,125
|
123,7656
|
2227,78125
|
60-69
|
65
|
9
|
21,125
|
446,2656
|
4016,39063
|
Total |
80
|
12598,75
|
Sx =
La desviación típica es de 12,5 años
7.-
Calcule el tamaño muestral de una encuesta realizada por CIS sobre la Unión Europea que incluía todas las provincias excepto Ceuta y Melilla. El error teórico era de + 2, con un intervalo de confianza de 95,5% y P=Q en el supuesto de un muestreo aleatorio simple.
SOLUCIÓN
Utilizamos la fórmula para muestras infinitas en la que intervienen los tres factores determinantes del tamaño muestral: la probabilidad con la que queremos trabajar (z), el grado de concentración, dispersión de la población (pq) y el error que estamos dispuestos a asumir.
8.-
En una pregunta del CIS sobre la edad hasta la que consideran convenientes los padres controlar los programas y el tiempo de televisión de los hijos, la media fue de 15,4 años y la desviación típica de 2,11. Teniendo en cuenta que las respuestas se distribuyen aproximadamente como la curva normal y que van de los 7 a los 24 años, calcular:
a)-Cuantos respondieron que la edad debe ser hasta los 13 años
b)-Cuantos dijeron que debe estar entre 14 y 17 años.
c)-Cuantos respondieron que debe estar por encima de los 19 años
SOLUCIÓN:
a)
Sx = 2,1
9.- El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:
10.-
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
| |
9
|
1
|
10
|
4
|
11
|
9
|
12
|
16
|
13
|
11
|
14
|
8
|
15
|
1
|
Calcular la desviación típica.
11.-
El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
| ||
Veces
|
3
|
8
|
9
|
11
|
20
|
19
|
16
|
13
|
11
|
6
|
4
|
Calcular la desviación típica.
12.-
Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
13.-
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
14.-
-Las alturas de los de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura
|
[170, 175)
|
[175, 180)
|
[180, 185)
|
[185, 190)
|
[190, 195)
|
[195, 2.00)
| |
Nº de jugadores
|
1
|
3
|
4
|
8
|
5
|
2
|
Calcular la desviación típica
I
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta,
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
Donde:
P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del
evento
p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)
q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados
n = número de intentos
EJEMPLO
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ? Donde: P(X)= Probabilidad de que ocurra el evento p = (0.5) q = (se define como q = 1 – p ) (0.5) X = 2 n = 6 Al sustituir los valores en la fórmula obtenemos: |
se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo (Ver las tablas de la función de probabilidad Binomial).Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de obtener un valor específico de r. Para localizar la entrada, cuando p8804;0.50, localice p a lo largo del encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localice n y r en el margen izquierdo; cuando p8805;0.50, localice el valor de p en la parte inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho. |
1La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
2.¿Y cómo máximo 2?
1 B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.21. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
2.¿Y cómo máximo 2?
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/31. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
4Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
5La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
6En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a Xvariable aleatoria continua.
En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
- La siguiente tabla muestra la distribución del residentes estadounidenses (16 años de edad o mayor) quienes asisten a cualquier colegio durante 1980, ordenada por edad:
Edad 15-19 20-24 25-29 30-34 35-? Número en 1980 (millones) 2.7 4.8 1.9 1.2 1.8 - Solución Antes de empezar, un poco de terminología: Las entradas de la última fila son denominadas como las frecuencias y la tabla como una distribución de frecuencias. Al sumar las frecuencias, observamos que el número total de universitarios durante 1980 fue 12.4 millón. Por lo tanto, podemos convertir todos aquellos datos en probabilidades por dividir entre este total.
Edad 15-19 20-24 25-29 30-34 35-? Probabilidad .22 .39 .15 .10 .15 - Las probabilidades en la tabla más arriba han sido redondeadas, con la consecuencia que suman a 1.01 en vez de lo 1 esperado. In la categoría 15-19, hemos incluido todos de la edad al menos 15 años y menor que 20 años. Por ejemplo, alguien de la edad de 19½ sería incluyendo en este rango. Desearíamos en cambio escribir 15-20, pero esto sería ambiguo, pues no sabríamos donde contar alguien de la edad de precisamente 20 años. Sin embargo, la probabilidad de que un universitario este precisamente de la edad de 20 (y no, por ejemplo, 20 años y 1 segundo) es esencialmente cero, entonces no importa esta ambigüedad (vea el análisis después de Ejemplo 2 más abajo). Por lo tanto, reescribimos la tabla con estos rangos:
Edad 15-20 20-25 25-30 30-35 ≥35 Probabilidad .22 .39 .15 .10 .15 La tabla nos informa, por ejemplo, queP(15X20)=22
P(X35)=15 Ejemplo 2 Edad de un coche alquilado
Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche alquilado:
Edad 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 Probabilidad .20 .28 .20 .15 .10 .05 .02 Trace el histograma de la distribución de probabilidad, y úselo para evaluar (o estimar) las siguientes:(a) P(0X4)
(b)P(X4)
(c)P(2X35)
(d)P(X=4) a) Podemos calcularP(0X4) a través de la tabla por sumar las probabilidades correspondientes:P(0X4)=20+28+20+15=83
Esta probabilidad corresponde a la región sombreada en la siguiente figura:Observe que, pues tiene cada rectángulo una anchura de 1 unidad y una altura igual a la probabilidad asociada, su área es igual a la probabilidad de queX está en el rango asociado. Por lo tanto,P(0X4) también es igual a la área de la región sombreada.(b) De modo parecido,P(X4) se expresa por la área de la región sin sombra en la figura más arriba, así queP(X4)=10+05+02=17
(Note queP(0X4)+P(X4) = 1. ¿Porqué?)(c) Para calcularP(2X35) , tenemos que hacer una conjetura con cierta base, pues no la tabla ni el histograma tiene subdivisiones de anchura 0.5. En referencia al histograma, podemos aproximar la probabilidad por la área mostrada más abajo:Por lo tanto,P(2X35)20+21(15)=275
(d) Para calcularP(X=4) , tendríamos que calcularP(4X4) . Sin embargo, eso correspondería a una región del histograma con cero área (vea la figura más abajo) entonces concluimos queP(X=4)=0 .
- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación: que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos. Propiedad:
No importa cuáles sean los valores de µ y σ para un distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:
Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.
Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.
Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una tabla (Apéndice Tabla 1) de la distribución de probabilidad normal estándar. El valor de z está derivado de la fórmula: En la que:
x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa.
µ = media de la distribución de la variable aleatoria.
σ = desviación estándar de la distribución.
z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la
distribución. (el uso de z es solamente un cambio de escala de medición del
eje horizontal)EJEMPLO.
Partiendo de la misma premisa, µ = 500
y σ = 100. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?Si buscamos Z=1.5 (refiérase a la tabla), encontramos una probabilidad de 0.4332.
Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.43321Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.2En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.4La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:1. Entre 60 kg y 75 kg.2.Más de 90 kg.3.Menos de 64 kg.4.64 kg.5.64 kg o menos.1. Entre 60 kg y 75 kg.2.Más de 90 kg.3.Menos de 64 kg.4.64 kg.5.64 kg o menos.5Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?6Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?Baja cultura hasta 49 puntos.Cultura aceptable entre 50 y 83.Excelente cultura a partir de 84 puntos.7Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
- 1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?8En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.9En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.10Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?